集合演算における補集合と差集合の同値表現

正解は「ア」です。 ド・モルガンの法則により、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$（全体集合 $S$ から $A$ と $B$ の和集合を除いた部分、すなわち「$A$ にも $B$ にも属さない要素の集合」）を表します。 また、差集合 $X - Y$ の定義は「$X$ に属し、かつ $Y$ に属さない要素の集合」、すなわち $X - Y = X \cap \overline{Y}$ です。 各選択肢を検証します。 $(A \cup B) - (A \cap B)$ は、和集合から積集合を除いた「対称差（$A$ または $B$ のいずれか一方のみに属する要素の集合）」を表します。 $(S - A) \cup (S - B)$ は、$\overline{A} \cup \overline{B}$ を表します。ド・モルガンの法則により $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$（$A$ と $B$ の積集合の補集合）と同値です。 $S - (A \cap B)$ は、全体集合 $S$ から積集合を除いた補集合 $\overline{A \cap B}$ を表します。 選択肢アの $\overline{A} - B$ に差集合の定義を適用すると、$\overline{A} - B = \overline{A} \cap \overline{B}$ となり、問題文で示された式と完全に一致します。したがって「ア」が正解です。

全体集合 SS 内に異なる部分集合 AA と BB があるとき，A‾∩B‾\overline{A} \cap \overline{B} に等しいものはどれか。ここで，A∪BA \cup B は AA と BB の和集合，A∩BA \cap B は AA と BB の積集合，A‾\overline{A} は SS における AA の補集合，A−BA - B は AA から BB を除いた差集合を表す。

出典令和元年度 秋期 高度情報処理技術者試験 午前Ⅰ
ア
A‾−B\overline{A} - B
イ
(A∪B)−(A∩B)(A \cup B) - (A \cap B)
ウ
(S−A)∪(S−B)(S - A) \cup (S - B)
エ
S−(A∩B)S - (A \cap B)