3台の装置X～Zを接続したシステムA，Bの稼働率に関する記述のうち，適切なものはどれか。ここで，3台の装置の稼働率は，いずれも0より大きく1より小さいものとし，並列に接続されている部分は，どちらか一方が稼働していればよいものとする。
出典令和5年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問16
ア
各装置の稼働率の値によって，AとBの稼働率のどちらが高いかは変化する。
イ
常にAとBの稼働率は等しい。
ウ
常にAの稼働率はBより高い。
エ
常にBの稼働率はAより高い。
並列接続と直列接続を含むシステムの稼働率比較
正解は エ です。 装置X, Y, Zの稼働率をそれぞれ $X, Y, Z$（ただし $0 < X, Y, Z < 1$）として、システムAとBの稼働率を導出・比較します。 ・システムA：XとYの並列部分にZが直列接続されています。
$$A = \{1 - (1 - X)(1 - Y)\} \times Z = (X + Y - XY)Z = XZ + YZ - XYZ$$ ・システムB：XとZの直列部分にYが並列接続されています。
$$B = 1 - (1 - XZ)(1 - Y) = 1 - (1 - Y - XZ + XYZ) = Y + XZ - XYZ$$ 両システムの稼働率の差 $B - A$ を計算すると：
$$B - A = (Y + XZ - XYZ) - (XZ + YZ - XYZ) = Y - YZ = Y(1 - Z)$$ 条件より $0 < Y < 1$ かつ $0 < Z < 1$ であるため、$1 - Z > 0$ であり、$Y(1 - Z) > 0$ が常に成り立ちます。
したがって、各装置の稼働率の具体的な値に関わらず、常に $B > A$（常にBの稼働率はAより高い）となります。 例：X＝Y＝Z＝0.9 計算 稼働率 A（X, Y の並列に Z を直列） {1−(0.1×0.1)}×0.9 0.891 B（X−Z の直列と Y の並列） 1−(1−0.81)×0.1 0.981 差 B−A Y(1−Z)＝0.9×0.1 0.09（常に正）