M/M/1待ち行列モデルにおける平均待ち時間の計算

M/M/1 待ち行列モデルにおいて、利用率を $\rho$（$0 \leqq \rho < 1$）、平均サービス時間を $T$ とするとき、待ち行列で待つ平均待ち時間 $W_q$ は次の公式で表されます。 $$W_q = \frac{\rho}{1 - \rho} \times T$$ 問題では、平均待ち時間 $W_q$ がサービス時間 $T$ 以上（$W_q \geqq T$）となる条件を求めています。導出手順は以下のとおりです。 不等式を立てる：$\frac{\rho}{1 - \rho} \times T \geqq T$ 両辺を $T$（$T > 0$）で割る：$\frac{\rho}{1 - \rho} \geqq 1$ 両辺に $1 - \rho$（$1 - \rho > 0$）を掛ける：$\rho \geqq 1 - \rho$ 移項して整理する：$2\rho \geqq 1 \iff \rho \geqq 0.5\ (50\%)$ したがって、システムの利用率は少なくとも 50％ 以上である必要があります。正解はイです。 利用率 ρ ρ/(1−ρ) 平均待ち時間 0.33 0.5 0.5T 0.5 1 T（ちょうど T） 0.67 2 2T 0.8 4 4T ρ/(1−ρ) は利用率が 50％ を超えると1を超え、80％ で4倍と急に大きくなります。

コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは，伝票データをためる待ち行列をもち，M/M/1 の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間が TT 秒以上となるのは，システムの利用率が少なくとも何％以上となったときか。ここで，伝票データをためる待ち行列の特徴は次のとおりである。

  • 伝票データは，ポアソン分布に従って到着する。

  • 伝票データをためる数に制限はない。

  • 1件の伝票データの処理時間は，平均 TT 秒の指数分布に従う。

出典令和7年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2
ア
33
イ
50
ウ
67
エ
80