微分

微分は、関数の入力をわずかに変えたときの出力の瞬間変化率を求める操作です。導関数$f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$は、グラフ上の接線の傾きを表します。

■ 試験で押さえるポイント

• 基本則は$(c)'=0$、$(x^n)'=nx^{n-1}$、積の微分$(fg)'=f'g+fg'$、合成関数の連鎖律$\dfrac{d f(g(x))}{dx}=f'(g(x))g'(x)$です。

• $f'(x)>0$なら局所的に増加、$f'(x)<0$なら減少します。極値候補は$f'(x)=0$又は微分不能点ですが、符号変化や端点も調べます。

• 二階導関数は変化率の変化を表し、$f''>0$なら下に凸、$f''<0$なら上に凸です。物理では位置の一階微分が速度、二階微分が加速度です。

• 離散データでは差分で近似し、刻み幅による打切り誤差と丸め誤差が生じます。微分可能なら連続ですが、連続でも微分不能な点があります。

■ 選択肢での判断ポイント

差分商の極限、接線・瞬間変化率、極値判定、積・合成関数の微分が基本です。

例: $f(x)=x^2$なら$f'(x)=2x$です。$x=3$での接線の傾きは$f'(3)=6$で、xが微小に0.01増えるとfは約0.06増えます。