積分

積分は、微小な量を連続的に足し合わせ、面積、体積、総量などを求める操作です。不定積分は導関数が元の関数になる原始関数の集合、定積分は指定区間の符号付き累積量です。

■ 試験で押さえるポイント

• 不定積分$\int f(x)\,dx=F(x)+C$では$F'(x)=f(x)$で、任意定数Cを付けます。定数を忘れると原始関数全体を表せません。

• 微積分学の基本定理により、連続なfについて$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$です。区間端の代入順を守ります。

• x軸より下の部分は負の面積として加算されます。幾何学的な面積の総和を求めるなら、符号が変わる点で区切って絶対値を扱います。

• 解析的に積分できない場合は台形則やSimpson則などの数値積分を使い、刻み幅による打切り誤差と丸め誤差を評価します。

■ 選択肢での判断ポイント

不定積分の＋C、定積分の$F(b)-F(a)$、符号付き面積を押さえます。微分と積分は基本定理の条件下で逆操作です。

例: $\int_0^2x\,dx=[x^2/2]_0^2=2^2/2-0^2/2=2$です。これは$0\le x\le2$で直線$y=x$の下にある三角形の面積でもあります。