待ち行列モデル (M/M/1モデル)

M/M/1待ち行列は、到着間隔が指数分布、サービス時間も指数分布、窓口が1台で、先着順、十分な待ち場所、定常状態を仮定する待ち行列モデルです。平均到着率をλ、平均サービス率をμとします。

■ 試験で押さえるポイント

• 利用率$\rho=\dfrac{\lambda}{\mu}$で、定常状態が成立する条件は$\lambda<\mu$、すなわち$\rho<1$です。$\lambda\ge\mu$では平均的に処理が追い付かず、待ち行列は発散します。

• 系内平均時間$W=\dfrac{1}{\mu-\lambda}$、待ち行列での平均待ち時間$W_q=\dfrac{\rho}{\mu-\lambda}=\dfrac{\lambda}{\mu(\mu-\lambda)}$です。$W=W_q+\dfrac{1}{\mu}$の関係があります。

• 系内平均人数$L=\lambda W=\dfrac{\rho}{1-\rho}$、待ち行列内平均人数$L_q=\lambda W_q=\dfrac{\rho^2}{1-\rho}$です。客数にはサービス中の1人を含むかを確認します。

• 二つのMは到着がマルコフ的、サービスがマルコフ的であること、1は窓口数を表します。複数窓口や有限待ち場所では同じ公式をそのまま使えません。

■ 選択肢での判断ポイント

平均待ち時間Wqと、サービス時間を含む平均応答・滞在時間Wを取り違えないことが最重要です。λとμは同じ時間単位へそろえます。

例: $\lambda=4\,\text{件/時}$、$\mu=6\,\text{件/時}$なら$\rho=4/6=2/3$、$W_q=(2/3)/(6-4)=1/3\,\text{時間}=20\,\text{分}$、$W=20\,\text{分}+1/6\,\text{時間}=30\,\text{分}$です。