二分法

二分法は、連続関数fについて符号の異なる端点a、bをもつ区間を半分ずつ狭め、$f(x)=0$の近似解を求める数値解法です。$f(a)f(b)<0$なら中間値の定理により区間内に少なくとも一つの解があります。

■ 試験で押さえるポイント

• 中点$m=(a+b)/2$を計算し、$f(a)f(m)\le0$なら[a,m]、そうでなければ[m,b]を次の区間にして反復します。

• 初期幅$L=b-a$ならn回の二分後の区間幅は$L/2^n$で、中点近似の絶対誤差は高々$L/2^{n+1}$です。

• 連続性と符号変化があれば収束が保証され、導関数を必要としませんが、収束は一次的でニュートン法より一般に遅い方式です。

• 偶数重根のように根の両側で符号が変わらない場合は検出できず、区間内に複数根があればどの根へ絞るかは初期区間に依存します。

■ 選択肢での判断ポイント

端点の符号が異なる連続関数、区間半減、誤差上限が判別軸です。単に探索配列を半分にする二分探索とは対象が異なります。

例: $f(x)=x^2-2$を[1,2]で解くと、中点1.5では正なので[1,1.5]、次の1.25では負なので[1.25,1.5]へ絞り、$\sqrt2$へ近づけます。