ニュートン法

ニュートン法は、方程式$f(x)=0$に対し、現在の近似値xnでの接線とx軸の交点を次の近似値とする反復解法です。更新式は$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$です。

■ 試験で押さえるポイント

• 接線近似$f(x)\approx f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)$を0と置いて解くと更新式が得られます。関数値に加えて導関数が必要です。

• 単純根の十分近くから始め、滑らかさなどの条件を満たせば誤差がおおむね二乗で減る二次収束となり、高速です。

• 初期値が悪い、導関数が0又は小さい、複数根・変曲点がある場合は発散、周期、別の根への収束が起こり得ます。

• 停止条件には$|f(x_n)|$、$|x_{n+1}-x_n|$、反復上限を併用し、値が変わらないだけで正しい根と決めません。二分法との併用で安定化できます。

■ 選択肢での判断ポイント

接線、導関数、更新式、高速だが初期値依存という特徴を二分法と比較します。

例: $f(x)=x^2-2$では更新式が$(x_n+2/x_n)/2$です。$x_0=1.5$なら$x_1=1.416666\ldots$、$x_2\approx1.414216$となり$\sqrt2$へ急速に近づきます。