打切り誤差

打切り誤差は、本来無限回又は連続的に行う計算を、有限項・有限反復・有限刻みで打ち切って近似するために生じる誤差です。級数展開、数値微分・積分、反復法などで発生します。

■ 試験で押さえるポイント

• Taylor級数を有限項で止める場合、捨てた剰余項が打切り誤差です。剰余公式や次項の大きさで誤差上限を評価できる場合があります。

• 刻み幅を小さくしたり項数・反復数を増やすと通常は減少しますが、計算量が増え、丸め誤差が蓄積・増幅する場合があります。

• 近似法の次数pは、刻み幅hに対し主要な打切り誤差が$O(h^p)$で減ることを表します。定数と成立範囲も確認します。

• 停止条件を残差や誤差推定と結び付け、単に反復回数を固定しません。丸め誤差との合計が最小になる精度を考えます。

■ 選択肢での判断ポイント

無限級数・反復・連続量を有限で止めることが原因です。有限桁へ丸める丸め誤差と区別します。

例: eの1乗＝$1+1+1/2!+1/3!+\cdots$を2次項までの2.5で打ち切ると、真値約2.71828との差約0.21828が打切り誤差です。