アーランB式（アーランの損失式）

アーランB式（Erlang B formula）は、待ち行列を持たない回線群へ提供呼量$A$が到着したとき、$N$本の回線が全て使用中で新しい呼が失われる確率$B(N,A)$を求める損失系モデルです。最繁時呼量と許容呼損率から必要回線数を設計する際に用います。

■ 試験で押さえるポイント

• 式は、呼の到着がポアソン過程、保留時間が独立、全回線が同等、待ち場所なし、満線時の呼は直ちに失われるという前提に基づきます。待たせるコールセンター等にはErlang Cなど別のモデルを検討します。

• 分子$A^N/N!$は全$N$回線が占有される状態の重み、分母は0～$N$回線占有状態の重みの総和です。結果は0～1の確率で、百分率へ直す場合は100を掛けます。

• 計算では階乗とべき乗による桁あふれを避けるため、$B_0=1$から$B_n=AB_{n-1}/(n+AB_{n-1})$と逐次求める方法やErlang B表を使えます。

• 同じ$N$なら提供呼量$A$が大きいほど呼損率は高く、同じ$A$なら回線数$N$が多いほど低くなります。表から設計する場合は、許容呼損率以下になる最小回線数を選びます。

• 運搬呼量は$A(1-B)$、失われた呼量は$AB$です。ここで$A$へ運搬呼量を誤って代入すると、需要を過小評価して回線数不足になります。

• モデルの値は長期平均の確率であり、短い区間ごとの実績を保証しません。非定常な集中、再発呼、優先呼、異なる回線能力、予約回線及び故障回線がある場合は仮定を見直します。

■ 過去問での着眼点

アーランB式は待ち行列なしの損失系で、提供呼量と回線数から全回線使用中となる呼損確率を求めます。表を使う問題では最繁時の提供呼量の行と許容呼損率を照合し、条件を満たす最小回線数を選びます。待ち呼なしはErlang B、待ち呼ありは別モデルという成立条件を確認します。

例: 提供呼量$A=1$Erlang、回線数$N=2$なら、$B=(1^2/2!)/(1+1+1^2/2!)=0.5/2.5=0.2$で呼損率は20%です。運搬呼量は$1\times(1-0.2)=0.8$Erlangです。