正規分布

正規分布は、平均μを中心に左右対称な釣鐘形をもつ連続確率分布です。標準偏差σが広がりを決め、$X \sim N(\mu,\sigma^2)$と表します。確率は確率密度曲線の区間内の面積で求め、曲線全体の面積は1です。

■ 試験で押さえるポイント

• 平均、中央値、最頻値はμで一致し、変曲点は$\mu\pm\sigma$です。σが大きいほど低く広く、σが小さいほど高く狭くなりますが、総面積は変わりません。

• 正規分布では$\mu\pm\sigma$に約68.27%、$\mu\pm2\sigma$に約95.45%、$\mu\pm3\sigma$に約99.73%が入ります。片側確率では対称性を使って残りを半分にします。

• 標準化$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$により$N(0,1)$へ変換し、異なる平均・尺度の値を標準正規分布表で扱えます。Zは平均から標準偏差何個分離れたかを表します。

• データ数を増やせば元データが必ず正規分布になるわけではありません。中心極限定理は一定条件下で標本平均の分布が正規分布へ近づく性質です。

■ 選択肢での判断ポイント

左右対称、μとσ、標準化、68－95－99.7則が判別軸です。$3\sigma$外は両側合計約0.27%なので、片側だけなら約0.135%です。

例: 平均50、標準偏差10の正規分布で$X=70$なら、$Z=\dfrac{70-50}{10}=2$です。$\mu+2\sigma$以下は約97.725%で、70を超える片側確率は約2.275%です。