標準偏差

標準偏差は、各データが平均からどの程度離れているかというばらつきを表す尺度で、分散の正の平方根です。分散と違って元データと同じ単位になるため、平均からの典型的な距離として解釈しやすい指標です。

■ 試験で押さえるポイント

• 母集団では分散$\sigma^2=\dfrac{\sum_i(x_i-\mu)^2}{N}$、標準偏差$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$です。平均との差をそのまま足すと0になるため、二乗してから平均します。

• 標本から母分散を不偏推定する標本分散では一般に分母を$n-1$とし、その平方根を標本標準偏差sとします。問題が母集団か標本かを確認します。

• 標準偏差が0なら全データが同じ値です。値が大きいほど平均から広く散らばりますが、平均や分布形が異なる集団の比較には尺度や外れ値も確認します。

• 全データへ定数cを足しても標準偏差は変わらず、全データを定数a倍すると標準偏差は|a|倍になります。外れ値には影響されやすい尺度です。

■ 選択肢での判断ポイント

『平均との差を二乗して平均し、その平方根』が基本です。分散は単位が二乗、標準偏差は元と同じ単位であり、平均絶対偏差とは計算が異なります。

例: 母集団2、4、6では$\mu=4$、$\sigma^2=\dfrac{(-2)^2+0^2+2^2}{3}=\dfrac{8}{3}$、$\sigma=\sqrt{8/3}\approx1.63$です。