乗法定理

確率の乗法定理は、事象AとBがともに起こる確率を、$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$として求める規則です。順序を逆にすれば$P(B)P(A\mid B)$でも同じ同時確率になります。

■ 試験で押さえるポイント

• AとBが独立なら$P(B\mid A)=P(B)$なので、$P(A\cap B)=P(A)P(B)$となります。積の形だけを見て独立と仮定しません。

• 復元しない抽出では一回目の結果で二回目の分母・分子が変わるため条件付き確率を使います。復元抽出や独立な試行とは異なります。

• 場合の数の乗法原理では、第一段階がm通りで、その各場合に第二段階がn通りなら全体は$m\times n$通りです。段階ごとに数が違う場合は枝ごとの積を足します。

• 三事象なら$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B\mid A)P(C\mid A\cap B)$と連鎖させます。条件を落とすと重複や誤計算になります。

■ 選択肢での判断ポイント

『AかつB』には乗法定理を用い、一般形は条件付き確率との積です。単純にP(A)P(B)とできるのは独立な場合だけです。

例: 赤3枚、白2枚から復元せず2枚とも赤を引く確率は、1枚目3／5、赤を引いた後の2枚目2／4なので、$3/5\times2/4=3/10$です。