条件付き確率

条件付き確率は、事象Aが起きたと分かっている状況で事象Bが起こる確率で、$P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$と定義します。ただし$P(A)>0$で、標本空間をAの範囲へ絞り直す考え方です。

■ 試験で押さえるポイント

• 分母は条件として与えられた事象Aの確率、分子はAとBがともに起こる確率です。記号B｜Aの右側が条件です。

• 乗法定理を変形すると$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$です。$P(A\mid B)$とは一般に異なり、条件の向きを入れ替えません。

• AとBが独立なら$P(B\mid A)=P(B)$です。一方、排反で$P(A)>0$なら$P(B\mid A)=0$なので、通常は独立ではありません。

• 復元しない抽出、検査結果から原因を推定する問題、属性で絞った割合などでは、条件後の母数を分母にすることが重要です。

■ 選択肢での判断ポイント

『Aであると分かったときのB』なら、Aを分母となる新しい標本空間にします。P(B｜A)と$P(A\mid B)$の逆転が典型的な誤答です。

例: 52枚のカードで赤札Aは26枚、そのうちハートBは13枚なので、赤札と分かった条件でハートの確率は$P(B\mid A)=13/26=1/2$です。