階乗

階乗は、非負整数nについて、1からnまでの正整数を全て掛けた値で、$n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$と定義します。再帰的には$n!=n(n-1)!$で、組合せ計算との整合から$0!=1$です。

■ 試験で押さえるポイント

• 異なるn個を全て一列に並べる順列はn!通りです。先頭にn通り、次に$n-1$通りと選択肢を掛ける乗法原理から得られます。

• n個から異なるr個を順序付きで選ぶ順列は${}_nP_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}$、順序を区別しない組合せは${}_nC_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$です。

• 同じものを含む並べ方では、総数n!を同一要素の個数の階乗で割ります。a個、b個が同一ならn!／(a!b!…)です。

• 階乗は急速に大きくなります。計算では共通する階乗を展開して約分すると、巨大な中間値やオーバーフローを避けられます。

■ 選択肢での判断ポイント

並べる順序を区別するかで順列と組合せを選び、$0!=1$を押さえます。${}_nC_r={}_nC_{n-r}$という対称性も計算の確認に使えます。

例: 5人から委員長と副委員長を選ぶなら${}_5P_2=5!/3!=5\times4=20$通り、役職を区別せず2人を選ぶなら${}_5C_2=20/2!=10$通りです。