ベイズの定理

ベイズの定理は、原因・仮説Aの事前確率と、そのとき結果Bが観測される尤度から、Bを観測した後のAの確率を$P(A\mid B)=\dfrac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$で更新する定理です。

■ 試験で押さえるポイント

• P(A)は観測前の事前確率、P(B｜A)は尤度、P(A｜B)は観測後の事後確率です。条件の向きが逆の尤度と事後確率を同一視しません。

• 分母P(B)はBが起こる全経路の確率です。Aとその補事象なら$P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid \bar{A})P(\bar{A})$と全確率で求めます。

• 検査精度が高くても対象事象の事前確率が低いと、陽性者中の真の該当割合が低いことがあります。基準率を無視しません。

• 複数仮説では各仮説の『$\text{尤度}\times\text{事前確率}$』を求め、その総和で割って正規化します。証拠が増えれば事後確率を次の事前確率として更新できます。

■ 選択肢での判断ポイント

結果から原因を逆算する問題で使い、感度P(陽性｜病気)と陽性的中率P(病気｜陽性)を区別します。分母には偽陽性経路も含めます。

例: 有病率1%、感度90%、特異度95%なら、真陽性は$0.01\times0.90=0.009$、偽陽性は$0.99\times0.05=0.0495$です。陽性時の有病確率は$0.009/(0.009+0.0495)\approx15.4\%$です。