ポアソン分布

ポアソン分布は、一定時間・面積などの区間で、独立に一定の平均率で発生する事象の回数Xを表す離散確率分布です。区間当たり平均発生回数をλとすると、$P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$です。

■ 試験で押さえるポイント

• 取り得る値は0、1、2、…で、期待値と分散はいずれもλ、標準偏差は$\sqrt\lambda$です。λは率そのものではなく、対象区間内の平均回数へ換算します。

• 互いに独立に発生し、十分短い区間で二回以上同時に起こる確率を無視でき、平均発生率が一定という仮定があります。

• 時間幅をt倍すれば平均回数もλtへ変えます。到着数がポアソン過程なら、次の到着までの時間は指数分布に従います。

• nが大きくpが小さく$np=\lambda$が一定のとき、二項分布をポアソン分布で近似できます。有限回の成功数を常にポアソンとみなすわけではありません。

■ 選択肢での判断ポイント

回数を扱う離散分布で、$\text{平均}=\text{分散}=\lambda$です。『次の発生までの時間』を扱う指数分布との対応を区別します。

例: 1分当たり平均2件なら、1分間に0件の確率は$P(X=0)=e^{-2}2^0/0!=e^{-2}\approx0.1353$です。