二項分布

二項分布は、成功確率pが一定で互いに独立なベルヌーイ試行をn回行ったとき、成功回数Xが従う離散確率分布です。X～Bin(n,p)と表し、Xは0からnまでの整数を取ります。

■ 試験で押さえるポイント

• ちょうどk回成功する確率は$P(X=k)={}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}$です。nCkは成功するk回の位置の選び方です。

• 期待値$E[X]=np$、分散$V[X]=np(1-p)$、標準偏差は$\sqrt{np(1-p)}$です。成功割合$X/n$の期待値はpです。

• 試行回数が固定、各試行が二値、独立、成功確率が一定という条件を確認します。復元しない有限母集団抽出では超幾何分布が適する場合があります。

• 『k回以上』はkからnまでを足すか、補事象を用いて$1-P(X\le k-1)$とします。『少なくとも一回』は$1-(1-p)^n$が効率的です。

■ 選択肢での判断ポイント

n回中k回の成功数、組合せnCk、pのk乗と失敗確率の残り乗が基本です。順序を一つに固定してnCkを忘れないようにします。

例: 成功確率0.2の独立試行を5回行い2回成功する確率は、${}_5C_2\times0.2^2\times0.8^3=10\times0.04\times0.512=0.2048$です。