指数分布

指数分布は、一定率λのポアソン過程で、次の事象が発生するまでの待ち時間Tを表す連続確率分布です。$t\ge0$で確率密度$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$、累積分布$P(T\le t)=1-e^{-\lambda t}$です。

■ 試験で押さえるポイント

• 平均待ち時間$E[T]=1/\lambda$、分散$V[T]=1/\lambda^2$、標準偏差も$1/\lambda$です。λを件／時間で与えた場合、平均時間の単位は時間になります。

• 生存確率、すなわちtを超えて待つ確率は$P(T>t)=e^{-\lambda t}$です。『以内』と『超える』を補事象で区別します。

• $P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t)$という無記憶性をもち、既に待った時間が追加待ち時間の分布へ影響しません。

• ポアソン分布は一定区間の発生回数という離散量、指数分布は発生間隔という連続量を扱います。故障率が一定でない寿命には他の分布を検討します。

■ 選択肢での判断ポイント

待ち時間・寿命の連続分布、平均$1/\lambda$、無記憶性が手掛かりです。回数を求めるポアソン分布と取り違えません。

例: 平均2件／時で到着するなら$\lambda=2$、$30\,\text{分}=0.5\,\text{時間}$を超えて待つ確率は$e^{-(2\times0.5)}=e^{-1}\approx0.368$です。