尖度

尖度は、平均から遠い値をどの程度生じやすいか、すなわち分布の裾の重さを4次モーメントで表す無次元の指標です。代表的定義は$E[((X-\mu)/\sigma)^4]$で、正規分布の尖度は3です。

■ 試験で押さえるポイント

• 正規分布の3を引いた超過尖度を用いる流儀では、正規分布が0です。問題やソフトウェアが通常の尖度か超過尖度かを確認します。

• 超過尖度が正なら正規分布より重い裾と極端値が現れやすく、負なら軽い裾です。単に山頂の細さだけを表す指標と考えると誤解します。

• 偏差を4乗するため外れ値に非常に敏感で、少数標本では推定が不安定です。ヒストグラム、Q-Qプロット、外れ値の原因も確認します。

• 平均と分散が同じでも尖度は異なり得ます。中心位置とばらつきだけでは、極端値の発生しやすさを十分に表せません。

■ 選択肢での判断ポイント

正規分布を3とする定義と、正規分布を0とする超過尖度を区別します。高い尖度の本質は重い裾・極端値です。

例: Xが確率0.9で0、各0.05で$\pm\sqrt{10}$を取ると、平均0、分散1、尖度$E[X^4]=0.1\times100=10$、超過尖度7で、極端値を生じやすい分布です。