区間推定

区間推定は、標本から未知の母数を含むと考える区間を求め、信頼水準とともに示す方法です。一般形は『$\text{点推定値}\pm\text{臨界値}\times\text{標準誤差}$』で、標本変動を幅として表します。

■ 試験で押さえるポイント

• 95%信頼区間とは、同じ抽出と計算を何度も繰り返したとき、作られた区間の約95%が固定された真の母数を含む手続です。得た一区間に真値が入る確率95%という頻度論的解釈ではありません。

• 信頼水準を高くすると区間は広くなり、標本数nを増やすと標準誤差が概ね$1/\sqrt{n}$で小さくなり、他条件が同じなら区間は狭くなります。

• 母標準偏差既知の平均にはz、未知で正規母集団を仮定する小標本には自由度$n-1$のt分布など、母数と条件に合う臨界値を使います。

• 狭い区間でも標本選択や測定が偏っていれば真値を適切に捉えません。信頼区間は系統誤差やモデル誤りを自動的に補正しません。

■ 選択肢での判断ポイント

信頼水準、標準誤差、臨界値の関係と解釈が重要です。信頼水準を上げると幅は広がり、標本数を4倍にすると標準誤差は概ね半分です。

例: 標本平均50、標準偏差10、$n=100$で正規近似すると、95%信頼区間は$50\pm1.96\times10/\sqrt{100}=50\pm1.96$、すなわち約$48.04\sim51.96$です。