尤度

尤度は、観測データxを固定し、モデルのパラメータθを変えたとき、そのデータがどれほどモデルと整合するかを表す関数$L(\theta\mid x)=f(x\mid\theta)$です。最尤推定や尤度比検定の基礎になります。

■ 試験で押さえるポイント

• 確率分布$f(x\mid\theta)$はθを固定して起こり得るxを比較し、尤度$L(\theta\mid x)$は観測xを固定して候補θを比較します。同じ式でも変数として見る対象が逆です。

• 尤度はθについて総和・積分して1になる確率分布ではなく、$P(\theta\mid x)$でもありません。パラメータの確率を得るには事前分布を含むベイズ推論などが必要です。

• 独立観測なら尤度は各観測確率・密度の積です。積は極小になりやすいため、単調な対数を取り、和となる対数尤度を最大化します。

• θに依存しない定数倍は最大点や尤度比を変えません。連続分布では密度値を使うため、尤度値自体を観測確率と解釈しません。

■ 選択肢での判断ポイント

データを固定してパラメータのもっともらしさを比較する関数です。尤度を『パラメータが正しい確率』とする選択肢は誤りです。

例: 硬貨10回で表7回なら$L(p)={}_{10}C_7p^7(1-p)^3$です。pの比較では共通の10C7を除き、$p^7(1-p)^3$が最大になる値を探します。