連立一次方程式

連立一次方程式は、複数の未知数について一次式で表された複数の方程式を同時に満たす値を求める問題です。係数行列A、未知ベクトルx、定数ベクトルbを用いて$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$とまとめて表せます。

■ 試験で押さえるポイント

• 代入法・加減法は小規模な式、ガウスの消去法は拡大係数行列を行基本変形して階段形にし、後退代入する一般的な解法です。

• n元正方系で$\det A\ne0$なら逆行列が存在し解は一意です。実際の数値計算では逆行列を明示的に求めるより、消去法や分解で解く方が一般的です。

• 係数行列の階数rank Aと拡大係数行列rank[A｜b]が異なれば解なし、等しく未知数の数より小さければ自由変数があり無数の解です。

• 方程式の本数だけで一意性は決まらず、互いに独立かを確認します。ほぼ従属な式では丸め誤差に敏感な悪条件になることがあります。

■ 選択肢での判断ポイント

一意解・解なし・無数解を、式の本数ではなく独立性、階数、正方行列なら行列式で判断します。

例: $x+y=5$、$x-y=1$を加えると$2x=6$なので$x=3$です。これを$x+y=5$へ代入すると$y=2$となり、両式を同時に満たします。