転置行列

転置行列$A^{\mathsf T}$は、行列Aの行と列を入れ替えた行列で、$(A^{\mathsf T})_{ij}=A_{ji}$です。$m\times n$行列の転置は$n\times m$となり、列ベクトルと行ベクトルを相互に変換します。

■ 試験で押さえるポイント

• 二回転置すると元へ戻り、$(A^{\mathsf T})^{\mathsf T}=A$です。加法とスカラ倍では$(A+B)^{\mathsf T}=A^{\mathsf T}+B^{\mathsf T}$、$(cA)^{\mathsf T}=cA^{\mathsf T}$です。

• 積では$(AB)^{\mathsf T}=B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$となり、順序が逆になります。各行列のサイズを書いて確認します。

• $A^{\mathsf T}=A$を満たす正方行列を対称行列と呼び、実対称行列の固有値は実数で、固有ベクトルを直交化できます。

• 列ベクトルx、yの内積はxのT乗y、データ行列XのXのT乗Xは変数間の積和を持つGram行列として使われます。

■ 選択肢での判断ポイント

行列積の転置で積順が逆になる点と、$m\times n$から$n\times m$へのサイズ変化が重要です。

例: $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}$は$2\times3$で、$A^{\mathsf T}=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}$は$3\times2$です。