線形代数

線形代数は、ベクトル、ベクトル空間、行列、線形写像、連立一次方程式、固有値などを扱う数学分野です。多数の量の関係や変換を、加法とスカラ倍を保つ線形な構造として統一的に表します。

■ 試験で押さえるポイント

• ベクトル空間ではベクトルの加法とスカラ倍を定義し、一次独立な基底の本数を次元とします。座標は選んだ基底に対する成分です。

• 線形写像Tは$T(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=T(\boldsymbol{u})+T(\boldsymbol{v})$、$T(c\boldsymbol{u})=cT(\boldsymbol{u})$を満たし、基底を選べば行列で表現できます。行列積は写像の合成に対応します。

• 連立方程式、座標回転・拡大、画像処理、グラフ、機械学習、主成分分析など、複数変数をまとめて計算する基礎になります。

• 非線形な現象も局所的な線形近似や特徴空間で扱う場合がありますが、線形代数自体が全ての関係を直線と仮定するわけではありません。

■ 選択肢での判断ポイント

ベクトル・行列の計算だけでなく、線形写像、基底、次元、一次独立という関係を押さえます。行列は線形写像を表す手段です。

例: 平面の点(x,y)を90度反時計回りに回す線形写像は、行列$\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$を掛けて$(-y,x)$へ変換します。