等比数列

等比数列は、各項を直前の項で割った比が一定の数列です。初項a、公比rとすると第n項$a_n=ar^{n-1}$で、r≠1の最初のn項の和$S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$です。

■ 試験で押さえるポイント

• 第n項までに公比を掛ける回数はn－1です。$r=1$なら全項aなので$S_n=na$となり、通常の和の公式では分母が0になるため別扱いです。

• $a+ar+\cdots+ar^{n-1}=S_n$にrを掛け、$S_n-rS_n=a-ar^n$と引くことで有限和の公式を導けます。

• $|r|<1$の無限等比級数は項が0へ近づき、和が$a/(1-r)$へ収束します。$|r|\ge1$では一般に収束しません。

• 複利、倍々に増えるデータ、二分探索で半減する対象数など、一定割合・倍率の変化を表します。

■ 選択肢での判断ポイント

第n項、有限和、無限和の条件$|r|<1$を区別します。一定差なら等差、一定比なら等比です。

例: 2、6、18、54は$a=2$、$r=3$です。第5項は$2\times3^4=162$、最初の5項の和は$2(1-3^5)/(1-3)=242$です。