固有ベクトル

固有ベクトルは、正方行列Aによる変換後も同一直線上に残る非ゼロベクトルvで、ある固有値λについて$A\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v}$を満たします。対応するλごとに$(A-\lambda I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$を解いて求めます。

■ 試験で押さえるポイント

• ゼロベクトルは全てのλで式を満たしてしまうため、固有ベクトルから明示的に除外します。

• vが固有ベクトルなら、0でないスカラcに対するcvも同じ固有値の固有ベクトルです。通常はノルム1へ正規化して代表させます。

• 同じλに属する固有ベクトルとゼロベクトルの集合は固有空間を成し、その次元を幾何学的重複度と呼びます。

• 異なる固有値に対応する固有ベクトルは一次独立です。n個の一次独立な固有ベクトルがあれば行列を対角化できます。

■ 選択肢での判断ポイント

固有値を先に特性方程式で求め、$(A-\lambda I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$から非ゼロ解を求めます。大きさは一意でなく方向の代表です。

例: $A=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$で$\lambda=2$なら$(A-2I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$から$\boldsymbol{v}=(c,0)$、$c\ne0$です。例えば(1,0)は$A(1,0)=2(1,0)$を満たします。