行列

行列は、数や式をm行n列の長方形に並べたもので、連立方程式、線形変換、グラフ、データなどをまとめて表します。$m\times n$行列$A$の第i行第j列成分をaijと書きます。

■ 試験で押さえるポイント

• 加減算は同じ行列サイズで成分ごとに行います。$m\times n$行列$A$と$n\times p$行列$B$の積ABは$m\times p$で、内側の次元nが一致する必要があります。

• 積の成分は$(AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$です。一般に$AB\ne BA$で、片方だけ積が定義できる場合もあります。

• 行列積は線形変換の合成に対応し、列ベクトルへB、次にAを作用させる変換はABで表されます。適用順と積の順を確認します。

• 正方行列、対角行列、対称行列、単位行列、逆行列などは構造に応じた性質を持ちます。要素数だけ同じでも形が違えば同じ行列ではありません。

■ 選択肢での判断ポイント

積が定義できる条件と結果のサイズ、成分計算、交換法則が一般に成立しない点が頻出です。

例: $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}$は$2\times3$、$\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}$は$3\times1$なのでAxは$2\times1$で、$\begin{bmatrix}1+0+6\\4+0+12\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\16\end{bmatrix}$です。