固有値

固有値は、正方行列Aによる線形変換で、ある非ゼロベクトルvの方向を保ったまま大きさを変える倍率λで、$A\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v}$を満たします。λは特性方程式$\det(A-\lambda I)=0$の解です。

■ 試験で押さえるポイント

• $\lambda>1$なら対応方向を拡大、$0<\lambda<1$なら縮小、$\lambda<0$なら向きを反転して$|\lambda|$倍、$\lambda=0$ならその方向をゼロへ写します。

• n次行列は複素数まで含め重複度を数えるとn個の固有値を持ちます。実行列でも複素固有値を持つ場合があります。

• 固有値の総和はトレース、積は行列式に一致します。0が固有値なら$\det A=0$で逆行列を持ちません。

• PCAでは共分散行列の固有値が各主成分の分散、反復過程では最大固有値が長期挙動へ影響します。全行列が対角化できるわけではありません。

■ 選択肢での判断ポイント

非ゼロvについて$A\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v}$、$\det(A-\lambda I)=0$を使います。$\lambda=0$は固有値になり得ますが、$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$は固有ベクトルではありません。

例: $A=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ならdet(A－λI)＝$(2-\lambda)(3-\lambda)=0$なので、固有値は2と3です。