単位行列

単位行列Iは、主対角成分が1、それ以外が0の正方行列です。行列の乗法における数の1と同じ役割をもち、適合する任意の行列Aについて$IA=A$、$AI=A$となります。

■ 試験で押さえるポイント

• 次数を明示して$I_n$と書くことがあり、$I_2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$です。掛ける側に応じて必要な次数が異なります。

• 任意のベクトルxに$I\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}$として作用する恒等変換を表します。座標や方向を一切変えません。

• Aの0乗は正方行列について$A^0=I$と定義し、逆行列は$AA^{-1}=I$を満たします。

• 零行列Oは加法の単位元で$A+O=A$、単位行列Iは乗法の単位元です。正方行列でない行列自身には同じサイズの両側単位行列はありません。

■ 選択肢での判断ポイント

対角1・他0、乗法の単位元です。全成分が1の行列や、加法の単位元である零行列と混同しません。

例: $A=\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}$に$I_2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$を掛けると、$I_2A=AI_2=\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}=A$です。