ベクトル

ベクトルは、複数の数を順序付き成分として並べ、加法とスカラ倍を定義した数学的対象です。幾何学では大きさと向きを表し、データ分析では特徴量の組、物理では速度・力などを表します。

■ 試験で押さえるポイント

• n次元ベクトルはn個の成分を持ち、成分ごとに加算します。行ベクトルと列ベクトルは転置で対応し、行列積では向きと次元を確認します。

• ユークリッドノルム$\lVert\boldsymbol{v}\rVert=\sqrt{\sum_i v_i^2}$が大きさを表し、単位ベクトルはノルム1です。ゼロベクトルは大きさ0で方向を定めません。

• 内積$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=\sum_i u_iv_i=\lVert\boldsymbol{u}\rVert\lVert\boldsymbol{v}\rVert\cos\theta$は類似度や直交判定に使い、内積0なら直交します。外積は主に3次元で両方に垂直なベクトルを返します。

• 位置ベクトルと変位ベクトルは成分表示が同じでも意味が異なります。基底を変えると成分は変わっても、表す幾何学的ベクトルは同じです。

■ 選択肢での判断ポイント

成分、ノルム、内積、直交を結び付けます。内積はスカラ、3次元の外積はベクトルを返す点を取り違えません。

例: $\boldsymbol{v}=(3,4)$なら$\lVert\boldsymbol{v}\rVert=\sqrt{3^2+4^2}=5$です。$\boldsymbol{u}=(4,-3)$との内積は$3\times4+4\times(-3)=0$なので両者は直交します。