対数

対数は、底bを何乗すると真数xになるかを表す値で、$\log_b x=y$とbのy乗＝xは同値です。実数範囲では底$b>0$かつ$b\ne1$、真数$x>0$が必要です。

■ 試験で押さえるポイント

• 積・商・累乗の法則は$\log_b(xy)=\log_bx+\log_by$、$\log_b(x/y)=\log_bx-\log_by$、$\log_b(x^k)=k\log_bx$です。

• 底の変換公式$\log_bx=\dfrac{\log_ax}{\log_ab}$により、常用対数log10、自然対数ln、二進対数log2を変換できます。

• 指数関数の逆関数であり、$b>1$なら単調増加、$0<b<1$なら単調減少です。$\log_b1=0$、$\log_bb=1$です。

• 二分探索は対象を毎回約半分にするため比較回数が$O(\log_2n)$、情報量は確率pに対して$-\log_2p$など、倍率を加算量へ変える場面に使います。

■ 選択肢での判断ポイント

底・真数の条件、指数との相互変換、積が和になる法則が基本です。$\log(x+y)$を$\log x+\log y$にはできません。

例: $\log_2 1024=10$は2の10乗＝1024を意味します。要素数1024の二分探索は、最悪でもおおむね10回の半減で候補を1個へ絞れます。