場合の数

場合の数は、条件を満たす異なる結果が何通りあるかを、重複や漏れなく数える考え方です。選択肢が排他的なら加法原理、段階を順に組み合わせるなら乗法原理を基本にします。

■ 試験で押さえるポイント

• 互いに重ならないAがm通り、Bがn通りなら$m+n$通りです。重なりがある集合は$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$と包除します。

• 各段階の選択数がm、nなら$m\times n$通りです。枝によって次段階の数が違う場合は、枝ごとの積を求めて最後に足します。

• 異なるn個からr個を順序付きで選ぶ順列${}_nP_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}$、順序を区別しない組合せ${}_nC_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$です。

• 少なくとも一つを満たす数は、全体から一つも満たさない補集合を引くと簡単な場合があります。同じ結果を別経路で二重に数えないようにします。

■ 選択肢での判断ポイント

順序を区別するか、同時に選ぶか、選択が重なるかを先に判断して、和・積・順列・組合せ・補集合を選びます。

例: 数字0～9から重複なしで3桁の整数を作ると、百の位は0以外の9通り、十の位は残り9通り、一の位は残り8通りなので$9\times9\times8=648$通りです。