平均値

平均値は、一般には全データの合計を個数で割る算術平均で、$\bar{x}=\dfrac{\sum_i x_i}{n}$と求める代表値です。全ての観測値を反映し、各値から平均への偏差の総和は0になります。

■ 試験で押さえるポイント

• データを定数cだけ増やすと平均もc増え、定数a倍すると平均もa倍になります。複数群の平均をまとめるときは人数を重みにした加重平均を使います。

• 極端に大きい・小さい外れ値へ引っ張られるため、歪んだ分布では中央値も併記します。平均が実際に観測された値である必要はありません。

• 度数付きデータでは$\text{平均}=\dfrac{\sum(\text{値}\times\text{度数})}{\sum\text{度数}}$です。割合や速度を単純平均できない場合があり、母数・時間・距離に応じた重みを確認します。

• 平均だけではばらつきや分布形は分かりません。標準偏差、四分位範囲、ヒストグラムなどと組み合わせて解釈します。

■ 選択肢での判断ポイント

群を統合するときの単純平均と加重平均、外れ値の影響が頻出です。各群の件数が違うのに群平均だけを同じ重みで平均しません。

例: 20人の平均60点と30人の平均80点を統合すると、$(20\times60+30\times80)/(20+30)=3{,}600/50=72\,\text{点}$です。単純に$(60+80)/2=70\,\text{点}$とはしません。