順列・組合せ・期待値

順列・組合せ・期待値は、場合の数と確率を扱う基本概念で、順序を区別する選び方、順序を区別しない選び方、確率で重み付けした平均を表します。

■ 試験で押さえるポイント

• 異なる$n$個から$r$個を選んで並べる順列は、先頭から選べる数を掛けて$_nP_r$で表します。

• 異なる$n$個から順序を問わず$r$個を選ぶ組合せは、同じ集合の$r!$通りの並べ方を除いて$_nC_r$で表します。

• 離散確率変数の期待値は各値とその確率の積の合計で、長期的な平均を表しますが、一回の結果を保証しません。

• 同時に起こらない場合の確率は加法、独立事象が共に起こる確率は乗法を使い、条件の重複と独立性を確認します。

${}_nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}$

${}_nC_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

$E[X]=\sum_i x_i p_i$

■ 選択肢での判断ポイント

並ぶ順番を区別すれば順列、選ぶ集合だけなら組合せです。期待値は$\sum(\text{値}\times\text{確率})$として損益や回数を計算します。

例: 5人から委員長と副委員長を選ぶのは${}_5P_2=20$通り、役割なしで2人を選ぶのは${}_5C_2=10$通りです。