分散

分散は、各データと平均との差である偏差を二乗し、その平均を取ったばらつきの尺度です。母集団では$\sigma^2=\dfrac{\sum_i(x_i-\mu)^2}{N}$とし、値が大きいほど平均から広く散らばっています。

■ 試験で押さえるポイント

• 偏差をそのまま合計すると必ず0になるため二乗します。二乗により正負を打ち消さず、平均から遠い値をより大きく反映します。

• 標本から母分散を不偏推定する標本分散は$s^2=\dfrac{\sum_i(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$です。単に標本内の二乗偏差平均を表す場合は分母nなので、定義を確認します。

• 計算公式$V(X)=E[X^2]-\{E[X]\}^2$を使えます。また$V(aX+b)=a^2V(X)$で、定数bの加算は分散を変えません。

• 分散の単位は元データの単位の二乗です。元と同じ単位でばらつきを表す標準偏差は、分散の正の平方根です。

■ 選択肢での判断ポイント

母分散の分母Nと不偏分散の分母$n-1$、標準偏差との関係、定数倍で$a^2$倍になる性質が頻出です。

例: 母集団2、4、6では$\mu=4$なので、分散は$\{(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2\}/3=(4+0+4)/3=8/3$です。